我的那些数学玩具们——默比乌斯带

Möbius Strip,我不太喜欢“默比乌斯带”这个翻译,因为在我认识它时,我看到的说法都是“莫比乌斯圈”或“梅比乌斯圈”,不过其实早在1993年,全国科学技术名词审定委员会就规定了这个词的正规翻译是“默比乌斯带”,所以……

一、魔术

魔术师拿起一条纸带,把它粘成一个环,从中间撕开,这个纸环变成了一个更大的纸环。再撕一下,哈哈,大纸环变成了两个套在一起的纸环。

很简单,显然是在粘纸环时做了一点点手脚,把纸带扭曲了一下,把它粘成了一个默比乌斯带。默比乌斯带一个最明显的特性就是它只有一个面,而且从中间撕开的时候会变成一个大圈圈,估计这一点大家都知道了吧。

这个“一个面”的特性有一个很好的用处,就是在做传动皮带的时候,如果把皮带做成默比乌斯带,就是让皮带得到更充分的利用。如果用在磁带上,也许就可以更有效的利用带基,也可能免去翻面的麻烦。多废话罗嗦一句,不要误解这一点,现在的录音磁带的翻面只是用磁带的两个不同磁道,可不是用了正反面啊。

二、四维空间的臆想

小时候总是喜欢胡思乱想,四维空间这个似乎很神奇的名词也不断的被误解和歪曲。但小孩子总是对这种乱想乐此不彼,所以乱想也就放在这里做为“玩具”吧。

一般人是不能想象四维空间的,因为我们所能认识到的世界是三维的,我们只能理解小于等于三维的东西。零维是点,一维是线,二维是面。任何一维,只要在不属于它的维度上运动起来就让维度升高了一级。把高维的东西放到低维空间去就更简单了,投射即可。所以如果我们能帮助二维世界的生物理解三维,我们也许就可以理解四维了。

默比乌斯带就是帮助二维空间理解三维的一个好工具。默比乌斯带本身是二维的,它就是一个面,唯一的问题在于它被在高维的空间中扭曲了一下。

把一匹三维的马投影到二维空间,如果从正侧面投影的话,可能有两种结果,一种是马头朝左,一种是马头朝右,这两种二维马是无法相互转换的,除非把它拿到三维空间来翻个面,再放回二维空间去。有了默比乌斯带,情况就不一样了,一匹马只要沿着默比乌斯带走一圈,再把自己从倒立姿势变换正立,它就成功的把自己变成了另一个朝向的马。

小时候我一度没有理解这个故事,我剪了一匹纸马,扶着它在默比乌斯带上走,发现走回原地时,它还是没有发生变化。错就错在我在用三维的眼光去看二维的事物,我的纸马不是在默比乌斯带这个二维面上走,而是在它的外面走,所以走回原地时,实际上已经走了两圈了。用纸做的默比乌斯带是有厚度的,是三维的,而真正意义上的默比乌斯带是一个曲面,没有厚度,马是嵌在这个面里面走,而不是在它外面。

理解了这个,我们就可以继续臆想四维空间了,如果在四维空间在帮助三维空间做一个扭曲,以后生产手套的厂家就高兴了,他们的生产不用区分左右手了,只要生产一种,然后拿一半去扭曲的空间转一圈,回来翻个面,另一种手套就做好了。

三、变色(变数字)的六边形

聊了很多,今天真正的玩具才刚刚登场。这个玩具我从小学做到研究生毕业,每次都还能引吸一些人来研究。不过后果常常是把我做好的玩具搞坏了 :-(

这个玩具很简单,就是把一个默比乌斯带压压扁。

说得容易做的不容易,因为这个“压压扁”要压得恰当好处才行,所以还是按图做比较好。

三种变换制作图纸

三种变换制作图纸

剪一条2-4厘米宽的纸带,画上10个正三角型,如图在两面分别写上数字(或相同数字涂上相同的颜色)和标记,然后沿红线和蓝线折起来,红线表示陷下去,蓝线表示鼓起来。比如在上面的图中,折好后2和*、2和2都是面靠面,1和3是背靠背。然后,把打*号的面粘起来,需要把纸带交叉一下才能让*号和*号粘起来,不好描述,自己体会一下吧,反正粘好以后就是个压扁的默比乌斯带。

这时正面是一圈一致向内的1,反面是东倒西歪的3,而2就不见了。我们的目标就是要把1、2、3分别变出来,而且最好要求是一致向内。

怎么变呢?我实在是不太会描述,有兴趣的朋友不妨自己试一试。我把我的描述写在这篇文篇的回复中,想看的人看看吧。

三种变换很单调,这个玩具还可以很轻松的扩展成六种、九种、十二种或更多的变换。做法不难,首先算一下要画多少个三角型,公式显然是3*N+1个,因为N种变化需要6*N个三角面,纸是双面的,所以只要3N个,加上的一个多了两个面是用来粘贴的。先把这条纸带“拧麻花”,六种变化的拧一次,九种的拧两次,以此类推,就可以得到一条看上去只10个三角面的纸带,于是就可以按三种变换时的做法把它折成最终的玩具了。还是以六种变化的为例画个图吧:

“拧麻花”示意图

“拧麻花”示意图

所谓“拧麻花”就是沿红线折叠啦,折完以后纸带就成为跟前面一样看起来是10个三角形的样子了,不过在具体做最后一步时可能需要发挥一下主观能动性,思考一下怎么叠才是合理的,这个只能意会不能言传了。纸带上标的数字我也不知道要怎么标了,我自己都是做好以后再一边玩一边标上去的。

成品的六种变换的玩具

成品的六种变换的玩具

下面是一些经验之谈:用的纸要尽量薄但有韧性,纸带宽度和正三角形的60度角一定要精确。与其画N个三角形出来不如只画一个,然后把剩下的直接折出来,又快又精确。6种变换的是最有性价比的,因为纸是有厚度的,变换越多折得次数越多,很厚的时候就不好折了。要知道“一张无论多大的纸都最多可以对折7次”左右。

有关这个玩具的数学原理?抱歉,我真不知道。迄今为止我只在两本杂志上看到过这个玩具,一本只讲了最简单的3种变换的,另一本介绍了推广到N种颜色的,在网上我还没有看到过任何相关的介绍。如果你知道有相关资料或原理介绍,希望能让我知道一下。

什么时候玩具会搞坏?当你发现一个面上出现不同的数字(颜色)的时候。为什么会坏?折来折去其实都是在做变换,从拓扑学看,虽然对于这个封闭的曲面来说怎么折它在拓扑上都是等价的,但表现出来可能会是不同的形状,如果正好扭到了一个不正确的状态,玩具就坏了。虽然理论上一定可以再把它折回到正常状态,在实践中,还是把它剪开再重新折好贴起来才更有性价比。

我的那些数学玩具们——默比乌斯带》上有2条评论

  1. 玩具的玩法:简单的说是把每一面从中心向六个角发射的边进行折叠,三条陷下去,三条鼓起来,相互间隔,然后从中间打开,新一个面就变出来了……可以参考一下图中右边的B面的样子,就是刚刚被打开的时候的样子。

  2. 对,我第一次知道也是莫比乌斯圈!
    那会中央台有个节目叫凯丽阿姨讲科学,就从这里听来的。
    不知道这个节目比1993年的规定早还是晚了……
    我还是习惯叫圈,哈哈

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